Linear Algebra : Linear Combination

Linear Combination

Example (1)

Is (b) alinear combination of x1,x2,x3

\begin{equation} x_{1}=\begin{bmatrix} 0 \\ 2\\ 4\\ \end{bmatrix} ,x_{2}=\begin{bmatrix} 3 \\ 5\\ 1 \\ \end{bmatrix} ,x_{3}=\begin{bmatrix} 3 \\ 7\\ 5\\ \end{bmatrix} , and ,b=\begin{bmatrix} 1 \\ 2\\ 3\\ \end{bmatrix} \end{equation}

Solution

يمكن كتابة b على صورة تركيبة خطية عندما يتحقق ما يلي ( حيث الفا معاملات لا تساوي جميعها الصفر)

\begin{equation}\Rightarrow \alpha _1x_1+\alpha _2x_2+\alpha _3x_3=b?\end{equation}

(المصفوفة الممتدة) augmented matrix is

نقوم بتكوين المصفوفة الممتدة للنظام والتي تتكون اعمدتها من معاملات المتجهات x1,x2,x3 ,b ثم نقوم باجراء عمليات الصف البسيطة (reduced row echelon form)

\begin{equation} \begin{bmatrix} 0 & 3 & 3 & 1 \\ 2& 5 & 7 & 2 \\ 4& 1 & 5 & 5 \\ \end{bmatrix}\xrightarrow[]{rrf} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0& 1 & 1 & 0 \\ 0& 0 & 0 & 1 & \\ \end{bmatrix}\end{equation}

b is Not alinear combination of x1,x2,x3

لا يمكن ان يكون للنظام حل كما ترى في المصفوفة الاخيرة بعد اجراء عمليات الصف البسيطة فان الصف الاخير يعطي 0=1 وهذا تناقض ، نستنتج انه لا يمكن كتابة b على صورة تركيبة خطية بالمتجهات x1,x2,x3 ( لمراجعة موضوع عمليات الصف البسيطة انظر الرابط بالاسفل)

وبهذا يكون b لاينتمي الى المجموعة المولدة للمتجهات x1,x2,x3

\begin{equation}b\notin span\begin{Bmatrix} x_1, &x_2 & x_3 \\ \end{Bmatrix}\end{equation}

Example (2)

Is (b) alinear combination of x1,x2,x3

\begin{equation} x_{1}=\begin{bmatrix} 0 \\ 2\\ 4\\ \end{bmatrix} ,x_{2}=\begin{bmatrix} 3 \\ 5\\ 1 \\ \end{bmatrix} ,x_{3}=\begin{bmatrix} 2 \\ -4\\ 1\\ \end{bmatrix} , and ,b=\begin{bmatrix} -7 \\ -15\\ 6\\ \end{bmatrix} \end{equation}

Solution

يمكن كتابة b على صورة تركيبة خطية عندما يتحقق ما يلي

\begin{equation}\Rightarrow \alpha _1x_1+\alpha _2x_2+\alpha _3x_3=b?\end{equation}

(المصفوفة الممتدة) augmented matrix is

\begin{equation} \begin{bmatrix} 0 & 3 & 2 & -7 \\ 2& 5 & -4 & -15 \\ 4& 1 &1 & 6 \\ \end{bmatrix}\xrightarrow[]{rrf} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 2 \\ 0& 1 & 0 & -3 \\ 0& 0 &1 & 1 & \\ \end{bmatrix}\end{equation} \begin{equation}\Rightarrow \alpha _1=2,\alpha _2=-3,\alpha _3=1\end{equation}

b is alinear combination of x1,x2,x3

يكون للنظام حل ، نستنتج انه يمكن كتابة b على صورة تركيبة خطية بالمتجهات x1,x2,x3

\begin{equation}{\color{Blue} 2x _1-3x_2+x_3=b}\end{equation}

وبهذا يكون b ينتمي الى المجموعة المولدة للمتجهات x1,x2,x3

\begin{equation}b\in span\begin{Bmatrix} x_1, &x_2 & x_3 \\ \end{Bmatrix}\end{equation}

اطلع ايضا على:

عمليات الصف البسيطة على المصفوفة الممتدة "

منصة العلوم الرياضية

القائمة الرئيسية

الصفحات

Linear Algebra : Linear Combination

Linear Combination

أخر المواضيع من قسم : جبر خطي

تعليقات

إرسال تعليق