نظريات ومبرهنات القسمة في مجموعة الاعداد الصحيحة

قابلية القسمة في مجموعة الاعداد الصحيحة Z

اذا كان a و b عددين في مجموعة الاعداد الصحيحة ، فأننا نقول ان a يقسم b اذا وجد عدد صحيح s بحيث b=(a)(s)

ويرمز لهذه الجملة بالرمز a|b . اي ان 

مثال : 
نقول ان 3 تقسم 18 وتكتب 18|3 وذلك لان (6)3=18
           4 تقسم 32 وتكتب 32|4 وذلك لان (8)4=32

نظرية :

• اثبت ان لكل عدد صحيح a فان a|a

بما ان (1)a=a  اذن اي عدد صحيح a يقسم نفسه 
اثبت ان لكل عدد صحيح a فان 0|a
بما ان    (0)zero=a  اذن اي عدد صحيح يقسم الصفر 

• اثبت ان لكل عدد صحيح فان

بما ان    (a)a=1  اذن اي العدد واحد صحيح يقسم اي عدد صحيح

• اثبت ان اذا كان a|b فان a|bc لكل a,b,c اعداد صحيحة

بضرب الطرفين في c

اذن a يقسم حاصل ضرب bc

• اثبت ان اذا كان  a|b و b|c فان a|c

باتعويض عن قيمة b من العلاقة الاولى  في العلاقة الثانية 

اثبت ان اذا كان a|b و a|c فان a|(ax+cy) لكل x,y اعداد صحيحة 


بضرب العلاقة الاولى ب x والثانية ب y ثم الجمع 

حيث ان bx+cy ينتمي الى الاعداد الصحيحة

• اثبت ان اذا كان a|b و c|d فان ac|bd

بضرب العلاقتين ينتج ان 

حيث sr عدد صحيح

• اثبت ان اذا كان m لا يساوي الصفر عندئذ a|b اذا وفقط اذا كان ma|mb

اولا اثبات ان اذا كان a|b فان ma|mb 


بالضرب في m

ثانيا نريد اثبات ان اذا كان ma|mb فان a|b

• اثبت ان اذا كان d|a  حيث a لا يساوي الصفر فان 

من التعريف 

بأخذ القيمة المطلقة 

وذلك لانه من خواص القيمة المطلقة وخواص العدد s فان 

او

• اثبت ان اذا كان a|b و b|a فان 

من التعريف

بالتعويض عن قيمة b من العلاقة الاولى في العلاقة الثانية 

نجد ان sr=1 وهذا يتحقق عندما s=r=1  او عندما s=r=-1 
اذن 

• مبرهنة :

اذا كان a يقسم كلا من 

فان a يقسم كلا من 

من التعريف