القائمة الرئيسية

الصفحات

تعديل المشاركة

التكامل الحجمي - Volume Integral

Math.Phys
(0)

مثال على التكامل الحجمي- Volume Integral

التكامل الحجمي (Volume Integral) هو نوع من التكاملات الثلاثية ويُستخدم لحساب الكميات الفيزيائية أو الرياضية داخل حجم ثلاثي الأبعاد. على سبيل المثال، يمكن استخدام التكامل الحجمي لحساب:

  • حجم جسم ثلاثي الأبعاد.

  • الكتلة إذا كانت الكثافة موزعة في الحجم.

  • الشحنة الكهربائية في مجال ثلاثي الأبعاد إذا كانت الكثافة معلومة.

  • الطاقة المخزنة في مجال.

الشكل العام للتكامل الحجمي:

إذا كانت لدينا دالة 
f(x,y,z)f(x, y, z)VV

∭Vf(x,y,z) dV\iiint_V f(x, y, z) \, dV

حيث 
dVdV

  • في الإحداثيات الديكارتية (Cartesian):

    dV=dx dy dzdV = dx\,dy\,dz

  • في الإحداثيات الاسطوانية (Cylindrical):

    dV=r dr dθ dzdV = r\,dr\,d\theta\,dz

  • في الإحداثيات الكروية (Spherical):

    dV=ρ2sin⁡ϕ dρ dθ dϕdV = \rho^2 \sin\phi\, d\rho\, d\theta\, d\phi

مثال 1: حساب حجم كرة نصف قطرها 
RR

يمكن استخدام الإحداثيات الكروية:

V=∭ball1⋅dV=∭ρ=0R∫θ=02π∫ϕ=0πρ2sin⁡ϕ dϕ dθ dρV = \iiint_{\text{ball}} 1 \cdot dV = \iiint_{\rho=0}^R \int_{\theta=0}^{2\pi} \int_{\phi=0}^{\pi} \rho^2 \sin\phi \, d\phi\, d\theta\, d\rho

بالحساب يعطي:

V=43πR3V = \frac{4}{3}\pi R^3

مثال 2: حساب الكتلة في جسم غير منتظم

إذا كانت الكثافة 
ρ(x,y,z)\rho(x, y, z)VV

الكتلة=∭Vρ(x,y,z) dV\text{الكتلة} = \iiint_V \rho(x, y, z) \, dV


فيديو لحل مثال على التكامل الحجمي




أخر المواضيع من قسم : دوال خاصة Special Function

تعليقات

إرسال تعليق

التنقل السريع