طريقة فصل المتغيرات - Separation of variable

مثال ( فيديو ) على طريقة فصل المتغيرات وحل مسالة القيمة الابتدائية

يتم حل المعادلات التفاضلية من الرتبة الاولى باستخدام طريقة فصل المتغيرات ، ويتم شرح استراتيجية طريقة فصل المتغيرات واجراء عملية التكامل للحصول على حل المعادلة التفاضلية ، ايضا يتم التعويض بالشرط الابتدائي للحصول على قيمة الثابت في الحل .

Differential equations of the first order are solved using the method of separation of variable

سابقا تعرفنا على طريقة حل المعادلات التفاضلية بطريقة فصل المتغيرات حيث قدمت بهذا الفيديو مسألة اخرى تتضمن شرط ابتدائي ، والشرط الابتدائي يمكننا من ايجاد ثابت التكامل .

مثال : اوجد حل مسألة القيمة الابتدائية

$https://latex.codecogs.com/svg.image?x^{2}yy^{'}=e^{y}, \ \ \ \ y(0)=1$
المعادلة تتضمن شرطا ابتدائيا وبالتالي تسمى مسالة القيمة الابتدائية
يمكن كتابة المعادلة على الصورة
$https://latex.codecogs.com/svg.image? x^{2}y\frac{dy}{dx}=e^{y}, \ \ \ \ y(0)=1$
هذه الصورة اوضح لعملية الفصل التي سنقوم بها في الخطوة اللاحقة ، يممكن فصل المتغيرات في هذه المعادلة عن طريق الضرب التبادلي ( طرفين بوسطين) ثم القسمة على x^2 و القسمة على e^y كما يلي
$https://latex.codecogs.com/svg.image?x^{2}ydy=e^{y}dx\\\frac{ydy}{e^{y}}=\frac{dx}{x^{2}}\\ye^{-y}dy=x^{-2}dx$
الان تم فصل المتغيرات وترتيب المعادلة بصورة يمكن تكاملها ، وباجراء التكامل (استخدم التكامل بالاجراء للطرف الايسر )

اقرا ايضاتحميل امتحان شهادة الدراسة الثانوية لمبحث الفيزياء - علمي للعام 2022

اقرا ايضاامتحان شهادة الدراسة الثانوية لمبحث الفيزياء الفرع العلمي للعام 2023

اقرا ايضا تحميل سلسلة الحسام في مبحث الفيزياء - توجيهي علمي للعام 2023-2024

اقرا ايضامواقع مجانية لتصميم سيرة ذاتية - CV - احترافية

$https://latex.codecogs.com/svg.image? \int ye^{-y}dy =\int x^{-2}dx\\-ye^{-y}-e^{-y}=-x^{-1}+c$
ناتج التكامل هو حل المعادلة التفاضلية ، يمكن ترتيب الحل على الصورة
$https://latex.codecogs.com/svg.image?x(1+y)e^{-y}=1+c_{1}x$
ونجد ان الحل معطى بشكل ضمني ، نقوم بالتعويض بالشرط الابتدائي لنحصل على قيمة الثابت
$https://latex.codecogs.com/svg.image?y(1)=0\\1(1+0)e^{0}=1+c_{1}\Rightarrow c_{1}=0$
وبذلك فان حل مسالة القيمة الابتدائية هو
$https://latex.codecogs.com/svg.image?x(1+y)e^{-y}=1$