المعادلات الغير متجانسة من الرتبة الثانية 2nd order Nonhomogeneous Diffe...

المعادلات الغير متجانسة من الرتبة الثانية ذات المعاملات الثابتة - 2nd order Nonhomogeneous Equations

في هذا التسجيل سنقوم بالتعرف على المعادلات التفاضلية من الرتبة الثانية الخطية ذات المعاملات الثابتة والتي طرفها الايمن لايساوي الصفر (المعادلات الغير متجانسة) - 2nd order Nonhomogeneous Differential Equations

فيديو يوتيوب مثال على معادلة غير متجانسة

المعادلة التفاضلية من الرتبة الثانية والغير متجانسة وخطية والتي لها معاملات ثابتة تكتب على الصورة
$ay'' +by'+cy=h(x)$

الحل العام للمعادلة التفاضلية الغير متجانسة

هو عبارة عن مجموع حلين ، الحل المتمم + الحل الخاص

الحل المتمم - complement solution

وهو حل اللطرف الايسر من المعادلة او حل المعادلة وكأنها معادلة متجانسة عن طريق تكوين المعادلة المساعد وايجاد حلين مستقلين

الحل الخاص -particular solution

وهو الحل الناتج عن الجزء الغير متجانس من المعادلة ( الطرف الايمن )

مثال : اذا كانت

$https://latex.codecogs.com/svg.image?y'' +2y'+3y=6e^{x}$

اولا : اوجد الحل المتمم للمعادلة

المعادلة المساعدة للجزء الايسر من المعادلة ( الجزء المتجانس ) هي
$https://latex.codecogs.com/svg.image?m^{2}+2m+3=0$
نحل باستخدام القانون العام
$https://latex.codecogs.com/svg.image?m=\frac{-2\pm \sqrt{4-12}}{2}=-1\pm 2\sqrt{2}i$

اقرا ايضاكراسة الكامل في الرياضيات للثاني عشر علمي الوحدة الاولى مع رابط حلول الوحدة

اقرا ايضاكراسة الماهر في الفيزياء .. ملخص لاهم القوانين والتعريفات والتعليلات

اقرا ايضاكراسة السراج .. نماذج اختبارات الفيزياء التجريبية وحلولها توجيهي 2024

اقرا ايضاملزمة الاوائل في الفيزياء للصف 12 العلمي للعام 2023-2024

اذن الجذور تخيلية وذلك لان المميز اقل من الصفر
اذن حلول المعادلة المتجانسة له هذا الشكل
$https://latex.codecogs.com/svg.image?y_1=c_1e^{-x}cos2\sqrt{2}\\ y_2=c_2e^{-x}sin2\sqrt{2}\\$
بجمع هذين الحلين نحصل على الحل المتمم (complement solution)
$https://latex.codecogs.com/svg.image?y_c =c_1e^{-x}cos2\sqrt{2}+c_2e^{-x}sin2\sqrt{2}\\ y_c =e^{-x} [c_1 cos2\sqrt{2}+c_2 sin2\sqrt{2} ]$

ثانيا : هل y=e^x حل خاص للمعادلة ؟

لاثبات ذلك نقوم بايجاد المشتقات والتعويض بالمعادلة ، اذا تحققت المعادلة يكون حلا للمعادلة
$https://latex.codecogs.com/svg.image?y=e^{x}\\y' =e^{x}\\y'' =e^{x}\\$
بالتعويض في المعادلة لنثبت ان y حلا للمعادلة ( بدون تعويض من الواضح ان y يحقق المعادلة )
اذن y يعتبر حلا خاص للمعادلة particular solution
$https://latex.codecogs.com/svg.image?y_{p}=e^{x}\\$

ثالثا : اكتب الحل العام

نكتب الحل العام للمعادلة الغير متجانسة بجمع الحل المتمم مع الحل الخاص
$https://latex.codecogs.com/svg.image? y= e^{-x}[c_{1}cos2\sqrt{2}x+c_2sin2\sqrt{2}x]+ e^{x}\\$

اطلع ايضا على: