characterestic equation and eginvalues - المعادلة المساعدة والقيم المميزة

 والقيم المميزة هي تلك القيم التي تحقق المعادلة المساعدة ويكون للمصفوفة قيم مميزة اذا كان ناتج حل محدد المعادلة المساعدة قيم حقيقية ، واذا كانت الجذور لمحدد المعادلة المساعدة جذور تخيلية فلا يوجد قيم مميزة للمصفوفة ، الخطوة القادمة هي عملية تعويض بالمعادلة السابقة  ، ثم اجراء عملية ضرب الثابت لمدا في مصفوفة الوحدة      \begin{equation} det \left [ \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0&-2 & 0 \\ 0 &0 & 3 \\ \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} \lambda & 0 & 0 \\ 0&\lambda & 0 \\ 0 &0 & \lambda \\ \end{pmatrix} \right ]=0\end{equation} باجراء عملية الطرح ينتج ان    \begin{equation} det\begin{pmatrix} 1-\lambda & 0 & 0 \\ 0& -2-\lambda & 0 \\ 0& 0 & 3-\lambda \\ \end{pmatrix}=0\end{equation} بفك المحدد باستخدام الصف الاول او نستخدم خواص المحددات ( المحدد الناتج هو محدد لمصفوفة قطرية وبالتالي محددها هي عبارة عن حاصل ضرب قطرها الرئيس )    \begin{equation} (1-\lambda) \begin{vmatrix} -2-\lambda & 0 \\ 0 &3-\lambda \\ \end{vmatrix}-0+0=0 \end{equation} ينتج لدينا معادلة من الدرجة الثالثة كما بالمعادلة   \begin{equation} (1-\lambda ) (-2-\lambda )(3-\lambda)=0 \end{equation} يوجد للمصفوفة قيم مميزة لان القيم الناتجة عن المعادلة المساعدة اعداد حقيقية   \begin{equation} \lambda_1 =1,\lambda _2=-2,\lambda_3=3 \end{equation}

Example (2)

Consider the matrix A \begin{equation} \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 1&-1  \\\end{pmatrix}\end{equation}  Find the Characteristic Polynomial 2x2 Matrices and eigin values 

Solution

 المعادلة المساعدة (  Characteristic equation )   \begin{equation} \left| A-\lambda I\right| =0 \end{equation}